Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sin (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x^{2})}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (5 (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (10 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.6

Reordene os fatores de $\cos (5 x^{2}) (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x \cos (5 x^{2})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x \cos (5 x^{2})}{2 x}$

Etapa 1.4

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Fatore $2$ de $10 x \cos (5 x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 x}$

Etapa 1.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 (x)}$

Etapa 1.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 x}$

Etapa 1.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x \cos (5 x^{2})}{x}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x \cos (5 x^{2})}{x}$

Etapa 1.4.2.2

Divida $5 \cos (5 x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x^{2})$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 lim_{x \to 0} \cos (5 x^{2})$

Etapa 2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x^{2})$

Etapa 2.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 \cos (5 lim_{x \to 0} x^{2})$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$5 \cos (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$5 \cos (5 \cdot 0^{2})$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$5 \cos (5 \cdot 0)$

Etapa 4.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$5 \cos (0)$

Etapa 4.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$