Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Etapa 1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0} | x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Etapa 1.3

Mova o limite para dentro dos sinais de valor absoluto.

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Etapa 1.4

Mova o limite para o expoente.

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

Etapa 2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\sin (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0$ . Portanto, o limite de $\sin (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $0$ .

$0$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\sin (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Etapa 8

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0$ . Portanto, o limite de $\sin (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $0$ .

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{0}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$\sqrt{0} \cdot e^{0}$

Etapa 9.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot e^{0}$

Etapa 9.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0 \cdot e^{0}$

Etapa 9.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 9.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$