Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (4 x)}{\sin (2 x)}$

Etapa 1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 1.1

Reescreva $\tan (4 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\sin (2 x)}$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\sin (2 x)}$ como um produto.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Converta de $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ em $\tan (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (4 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 1.3.2

Converta de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ em $\csc (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (4 x) \csc (2 x)$

Etapa 2

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (4 x) \csc (2 x)$

Etapa 3

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\tan (4 x) \csc (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \tan (4 x) \csc (2 x) \\ - 0.1 & 2.12812524 \\ - 0.01 & 2.00120076 \\ - 0.001 & 2.000012 \\ - 0.0001 & 2.00000012 \end{array}$

Etapa 4

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $2$ . Portanto, o limite de $\tan (4 x) \csc (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $2$ .

$2$

Etapa 5

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (4 x) \csc (2 x)$

Etapa 6

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\tan (4 x) \csc (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \tan (4 x) \csc (2 x) \\ 0.1 & 2.12812524 \\ 0.01 & 2.00120076 \\ 0.001 & 2.000012 \\ 0.0001 & 2.00000012 \end{array}$

Etapa 7

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $2$ . Portanto, o limite de $\tan (4 x) \csc (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $2$ .

$2$