Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{2} - 9}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 3 + h)}^{2} - 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 3 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de ${(- 3 + h)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{h \to 0} - 3 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(- lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 3 + 0)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{{(- 3 + 0)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Some $- 3$ e $0$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{2} - 9}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 3 + h)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 3 + h)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(- 3 + h)}^{2}$ como $(- 3 + h) (- 3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(- 3 + h) (- 3 + h) - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(- 3 + h) (- 3 + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 3 (- 3 + h) + h (- 3 + h) - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 3 \cdot - 3 - 3 h + h (- 3 + h) - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 3 \cdot - 3 - 3 h + h \cdot - 3 + h \cdot h - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 3 h + h \cdot - 3 + h \cdot h - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 3 h - 3 \cdot h + h \cdot h - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 3 h - 3 h + h^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2

Subtraia $3 h$ de $- 3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 6 h + h^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - 6 h + h^{2} - 9$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Como $9$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $9$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d h} [- 6 h]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $- 6$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 6 h$ em relação a $h$ é $- 6 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 9$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 9$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10

Simplifique.

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Etapa 1.3.10.1

Combine os termos.

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Etapa 1.3.10.1.1

Subtraia $6$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 6 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10.1.2

Some $- 6 + 2 h$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 6 + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10.2

Reordene os termos.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 6}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 6}{1}$

Etapa 1.4

Divida $2 h - 6$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - 6$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 6$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 6$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 6$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 6$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 - 1 \cdot 6$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$0 - 6$

Etapa 4.2

Subtraia $6$ de $0$ .

$- 6$