Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 x}$

Etapa 2

Como a função se aproxima de $- \infty$ a partir da esquerda e de $\infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$