Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{4 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Etapa 2.4

Divida $\sec^{2} (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Etapa 3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{4} \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \sec^{2} (0)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{2}$

Etapa 5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Etapa 5.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$