Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \sin (x)}{x \sin (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (1) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \sin (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (1 + x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.5

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $\frac{1}{1 + x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Etapa 1.3.8

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{1}{1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\frac{1}{1 + lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\frac{1}{1 + 0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\frac{1}{1 + 0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{1} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.8.1.2

Divida $1$ por $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.8.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.8.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.8.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 2.1.3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 2.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 2.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Etapa 2.1.3.6.1.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Etapa 2.1.3.6.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 2.1.3.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{1 + x} - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $\frac{1}{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + x$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.6

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \cos (x) + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.7.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.7.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)}$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1

Some $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)}$

Etapa 2.3.9.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 3.5

Mova o expoente $2$ de ${(1 + x)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 3.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 3.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 3.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 3.9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Etapa 3.10

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Etapa 3.11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Etapa 3.12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 3.13

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(1 + 0)}^{2}$ .

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Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$ por $\frac{{(1 + 0)}^{2}}{{(1 + 0)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{2}}{{(1 + 0)}^{2}} \cdot \frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 5.1.2

Combine.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} (- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0))}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0))}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} (- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}) + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de ${(1 + 0)}^{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}$ para o numerador.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} \frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2}} + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} \frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2}} + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- 1 + 1^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 1 + 1 \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.4.3

Multiplique $\sin (0)$ por $1$ .

$\frac{- 1 + \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.4.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{- 1 + 0}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.4.5

Some $- 1$ e $0$ .

$\frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- 1}{1^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 1}{1 \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.5.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{- 1}{0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.5.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{- 1}{0 \cdot 0 + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.5.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{- 1}{0 + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.5.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 1^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.5.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 1}{0 + 1 \cdot 2 \cos (0)}$

Etapa 5.5.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2 \cos (0)}$

Etapa 5.5.9

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2}$

Etapa 5.5.11

Some $0$ e $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$