Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{5})}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{5})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{5})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $5$ de $x^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{5})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0^{5})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{5})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{5})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{5})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{5}) (5 x^{4})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Reordene os fatores de $\cos (x^{5}) (5 x^{4})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{4} \cos (x^{5})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{4} \cos (x^{5})}{1}$

Etapa 1.4

Divida $5 x^{4} \cos (x^{5})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 5 x^{4} \cos (x^{5})$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 lim_{x \to 0} x^{4} \cos (x^{5})$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$5 lim_{x \to 0} x^{4} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{5})$

Etapa 2.3

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{5})$

Etapa 2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{5})$

Etapa 2.5

Mova o expoente $5$ de $x^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{5})$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$5 \cdot 0^{4} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{5})$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$5 \cdot 0^{4} \cdot \cos (0^{5})$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$5 \cdot 0 \cdot \cos (0^{5})$

Etapa 4.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$0 \cdot \cos (0^{5})$

Etapa 4.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Etapa 4.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 4.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$