Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (A x^{2})}{B x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{B}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\sin (A x^{2})}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{B} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (A x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} A x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $A$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (A lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (A {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (A \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (A \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.2

Multiplique $A$ por $0$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{B} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (A x^{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (A x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (A x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = A x^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $A x^{2}$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [A x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [A x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $A x^{2}$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\cos (A x^{2}) \frac{d}{d x} [A x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Como $A$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $A x^{2}$ em relação a $x$ é $A \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\cos (A x^{2}) A \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\cos (A x^{2}) A \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\cos (A x^{2}) \cdot 2 \cdot A x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Reordene os fatores de $\cos (A x^{2}) (2 A x)$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{2 A x \cos (A x^{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{2 A x \cos (A x^{2})}{1}$

Etapa 2.4

Divida $2 A x \cos (A x^{2})$ por $1$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} 2 A x \cos (A x^{2})$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $2 A$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot 2 A lim_{x \to 0} x \cos (A x^{2})$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{B} \cdot 2 A lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (A x^{2})$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{B} \cdot 2 A lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} A x^{2})$

Etapa 3.4

Mova o termo $A$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot 2 A lim_{x \to 0} x \cdot \cos (A lim_{x \to 0} x^{2})$

Etapa 3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{B} \cdot 2 A lim_{x \to 0} x \cdot \cos (A {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot 2 A \cdot 0 \cdot \cos (A {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot 2 A \cdot 0 \cdot \cos (A \cdot 0^{2})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{B}$ e $2$ .

$\frac{2}{B} A \cdot 0 \cdot \cos (A \cdot 0^{2})$

Etapa 5.2

Combine $\frac{2}{B}$ e $A$ .

$\frac{2 A}{B} \cdot 0 \cdot \cos (A \cdot 0^{2})$

Etapa 5.3

Multiplique $\frac{2 A}{B}$ por $0$ .

$0 \cdot \cos (A \cdot 0^{2})$

Etapa 5.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 \cdot \cos (A \cdot 0)$

Etapa 5.5

Multiplique $A$ por $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Etapa 5.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 5.7

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$