Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2}}{\cos (x) - 1}$

Etapa 1

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x) - 1}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$6 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Etapa 2.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$6 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.3.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x) + 0}$

Etapa 2.3.6

Some $- \sin (x)$ e $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x)}$

Etapa 3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$6 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.3.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$6 \cdot 2 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- \sin (0)}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.3.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- 0}$

Etapa 4.1.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 4.3.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \cos (x)}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 4.4.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (x)}$

Etapa 4.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} - \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 5.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Multiplique $6 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$12 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$- 12 \frac{1}{\cos (0)}$

Etapa 7.2

Converta de $\frac{1}{\cos (0)}$ em $\sec (0)$ .

$- 12 \sec (0)$

Etapa 7.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Etapa 7.4

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$- 12$