Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \cos (6 x)}$

Etapa 1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (6 x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Etapa 2.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Etapa 2.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Etapa 2.1.3.1.4

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{0}{1 - \cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{0}{1 - \cos (6 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.3.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$3 \frac{0}{1 - \cos (0)}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (6 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}$

Etapa 2.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

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Etapa 2.3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (6 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]}$

Etapa 2.3.5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

Etapa 2.3.5.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Etapa 2.3.5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Etapa 2.3.5.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \cdot 6 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \cdot 6}$

Etapa 2.3.5.6

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 6 \sin (6 x)}$

Etapa 2.3.5.7

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + 6 \sin (6 x)}$

Etapa 2.3.6

Some $0$ e $6 \sin (6 x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \sin (6 x)}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{6 \sin (6 x)}$

Etapa 2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.2.1

Fatore $2$ de $6 \sin (6 x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 \cdot 3 \sin (6 x)}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 3 \sin (6 x)}$

Etapa 2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$3 lim_{x \to 0} \frac{x}{3 \sin (6 x)}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (6 x)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (6 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (6 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 4.1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

Etapa 4.3.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Etapa 4.3.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \cdot 6 \cdot 1}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \cdot 6}$

Etapa 4.3.7

Mova $6$ para a esquerda de $\cos (6 x)$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{6 \cos (6 x)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $\frac{1}{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x)}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Etapa 5.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Etapa 5.5

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3 (2)} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3 \cdot 2} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Etapa 7.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Etapa 7.4

Converta de $\frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$ em $\sec (6 \cdot 0)$ .

$\frac{1}{6} \sec (6 \cdot 0)$

Etapa 7.5

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{1}{6} \sec (0)$

Etapa 7.6

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Etapa 7.7

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$