Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{4 - \sqrt{16 - x}}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 - \sqrt{16 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} \sqrt{16 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 - lim_{x \to 0} \sqrt{16 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 0} 16 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 - \sqrt{16 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 - \sqrt{16 + 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.2.1.1

Some $16$ e $0$ .

$\frac{4 - \sqrt{16}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{4 - \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{4 - \sqrt{16 - x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{16 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{16 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - \sqrt{16 - x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 - x}$ como ${(16 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 16 - x$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $16 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $16 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.5

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.14

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{{(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.16

Combine $\frac{{(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{{(16 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.17

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.18

Reescreva $- 1 {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.19

Mova ${(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.21

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.22

Multiplique $\frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $\frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(16 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{16 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{16 - x}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{16 - x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{16 - x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{16 - x}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{16 - x}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{16 - x}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 16 - x}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16 - lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 2.7

Simplifique os termos.

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Etapa 2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16 + 0}}$

Etapa 2.7.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.7.2.1.1

Some $16$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}$

Etapa 2.7.2.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Etapa 2.7.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 2.7.2.2

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 2.7.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.2.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{8}$

Forma decimal:

$0.125$