Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (7 x)}{5 x^{2}}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (7 x)}{x^{2}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.4

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (7 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (7 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (7 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Etapa 2.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (7 x) \cdot 7 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (7 x) \cdot 7 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.6

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.7

Multiplique $- 7$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 + 7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.5

Some $0$ e $7 \sin (7 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{7 \sin (7 x)}{2 x}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{7}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{x}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.1.2

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{\sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.6

Mova $7$ para a esquerda de $\cos (7 x)$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{1}$

Etapa 4.4

Divida $7 \cos (7 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} 7 \cos (7 x)$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \cdot 7 lim_{x \to 0} \cos (7 x)$

Etapa 5.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \cdot 7 \cos (lim_{x \to 0} 7 x)$

Etapa 5.3

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \cdot 7 \cos (7 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \cdot 7 \cos (7 \cdot 0)$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 2} \cdot 7 \cos (7 \cdot 0)$

Etapa 7.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{7}{10} \cdot 7 \cos (7 \cdot 0)$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{7}{10} \cdot 7$ .

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Etapa 7.2.1

Combine $\frac{7}{10}$ e $7$ .

$\frac{7 \cdot 7}{10} \cos (7 \cdot 0)$

Etapa 7.2.2

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{49}{10} \cos (7 \cdot 0)$

Etapa 7.3

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{49}{10} \cos (0)$

Etapa 7.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{49}{10} \cdot 1$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{49}{10}$ por $1$ .

$\frac{49}{10}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{49}{10}$

Forma decimal:

$4.9$