Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (10 x)}{x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (10 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (10 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (10 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 10 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - \cos (10 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (10 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $10$ por $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (10 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (10 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (10 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (10 x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (10 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (10 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 10 x$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [10 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [10 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (10 x) \frac{d}{d x} [10 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (10 x) (10 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique $10$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (10 x) \cdot 10)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.6

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 10 \sin (10 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 10 \sin (10 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $10 \sin (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \sin (10 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \sin (10 x)}{2 x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $10 \sin (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 \sin (10 x))}{2 x}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 \sin (10 x))}{2 (x)}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 \sin (10 x))}{2 x}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (10 x)}{x}$

Etapa 2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin (10 x)}{x}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$5 \frac{lim_{x \to 0} \sin (10 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$5 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 10 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.1.2

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 \frac{\sin (10 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$5 \frac{\sin (10 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $10$ por $0$ .

$5 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$5 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$5 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (10 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$5 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 10 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $10 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \cdot 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \cdot 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $10$ por $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \cdot 10}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.6

Mova $10$ para a esquerda de $\cos (10 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cdot \cos (10 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{1}$

Etapa 3.4

Divida $10 \cos (10 x)$ por $1$ .

$5 lim_{x \to 0} 10 \cos (10 x)$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 \cdot 10 lim_{x \to 0} \cos (10 x)$

Etapa 4.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$5 \cdot 10 \cos (lim_{x \to 0} 10 x)$

Etapa 4.3

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 \cdot 10 \cos (10 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$5 \cdot 10 \cos (10 \cdot 0)$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Multiplique $5$ por $10$ .

$50 \cos (10 \cdot 0)$

Etapa 6.2

Multiplique $10$ por $0$ .

$50 \cos (0)$

Etapa 6.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$50 \cdot 1$

Etapa 6.4

Multiplique $50$ por $1$ .

$50$