Cálculo Exemplos

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ) - 1}{\sin (θ)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ) - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $0$ por $θ$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $0$ por $θ$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 1.1.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ) - 1}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (θ) - 1$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 1$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.5

Some $- \sin (θ)$ e $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.6

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} - \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

Etapa 2.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{- lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

Etapa 2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- \sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

Etapa 2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- \sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $θ$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $θ$ substituindo $0$ por $θ$ .

$\frac{- \sin (0)}{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $0$ por $θ$ .

$\frac{- \sin (0)}{\cos (0)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{- 0}{\cos (0)}$

Etapa 4.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 0}{1}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 4.4

Divida $0$ por $1$ .

$0$