Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (2 x)}{x - \sin (2 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 + \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Etapa 1.1.3.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (2 x)}{x - \sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Etapa 1.3.7.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Etapa 1.3.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Etapa 1.3.7.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Etapa 1.3.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.7.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) \cdot 2)}$

Etapa 1.3.7.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (2 \cdot \cos (2 x))}$

Etapa 1.3.7.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 + 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 2.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 2.11

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{1 - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (0)}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 1}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1 + 2}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cos (0)}$

Etapa 4.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{3}{1 - 2}$

Etapa 4.2.4

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{3}{- 1}$

Etapa 4.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{3}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 3$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3$