Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Etapa 2

Deixe $u = - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Etapa 7

Combine $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $e^{u}$ em $- 2 t$ e em $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

Etapa 8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Etapa 9

Avalie o limite.

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Etapa 9.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Etapa 9.1.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

Etapa 9.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 9.2

Como o expoente $- 2 t$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- 2 t}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 9.3

Avalie o limite.

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Etapa 9.3.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 9.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Etapa 9.3.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 9.3.2.3

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 9.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Etapa 9.3.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$