Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.8

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.9

Combine $\frac{1}{2 x - 1}$ e $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.13

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1} \cdot 1$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{2}{2 x - 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x - 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$2 \frac{1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{1}{2 - 1}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 1$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$