Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Etapa 1.2

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Etapa 2

Como $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ e $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , aplique o teorema do confronto.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Etapa 3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 4.1.3.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Etapa 4.3.3.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Etapa 4.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

Etapa 4.3.7

Mova $4$ para a esquerda de $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sec^{2} (4 x)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x)}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Etapa 5.4

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (4 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

Etapa 5.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Etapa 5.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.3

Combine.

$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.5.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (0)}$

Etapa 7.1.5.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

Etapa 7.1.5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Etapa 7.2

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 7.3

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + 3}{6}$

Etapa 7.6

Some $2$ e $3$ .

$\frac{5}{6}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{6}$

Forma decimal:

$0.8\overline{3}$