Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1}$

Etapa 1.3.6

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{- 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \cdot - 1}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 1.6.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1)}{x \cdot - 1}$

Etapa 1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$- \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$- \frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$- \frac{1}{1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$