Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 11} \frac{x^{2} - 121}{11 - x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 11} x^{2} - 121}{lim_{x \to 11} 11 - x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $11$ .

$\frac{lim_{x \to 11} x^{2} - lim_{x \to 11} 121}{lim_{x \to 11} 11 - x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 11} x)}^{2} - lim_{x \to 11} 121}{lim_{x \to 11} 11 - x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $121$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $11$ .

$\frac{{(lim_{x \to 11} x)}^{2} - 1 \cdot 121}{lim_{x \to 11} 11 - x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $11$ por $x$ .

$\frac{11^{2} - 1 \cdot 121}{lim_{x \to 11} 11 - x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$\frac{121 - 1 \cdot 121}{lim_{x \to 11} 11 - x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $121$ .

$\frac{121 - 121}{lim_{x \to 11} 11 - x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $121$ de $121$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 11} 11 - x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $11$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 11} 11 - lim_{x \to 11} x}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $11$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $11$ .

$\frac{0}{11 - lim_{x \to 11} x}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $11$ por $x$ .

$\frac{0}{11 - 11}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $11$ de $11$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 11} \frac{x^{2} - 121}{11 - x} = lim_{x \to 11} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 121]}{\frac{d}{d x} [11 - x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 11} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 121]}{\frac{d}{d x} [11 - x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 121$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 121]$ .

$lim_{x \to 11} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 121]}{\frac{d}{d x} [11 - x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 11} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 121]}{\frac{d}{d x} [11 - x]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 121$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 121$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 11} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [11 - x]}$

Etapa 1.3.5

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 11} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [11 - x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $11 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 11} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 1.3.7

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 11} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 11} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 11} \frac{2 x}{0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 11} \frac{2 x}{0 - 1}$

Etapa 1.3.9

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 11} \frac{2 x}{- 1}$

Etapa 1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 x}{- 1}$ .

$lim_{x \to 11} - 1 \cdot (2 x)$

Etapa 2

Mova o termo $- 1 \cdot 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 1 \cdot 2 lim_{x \to 11} x$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $11$ por $x$ .

$- 1 \cdot 2 \cdot 11$

Etapa 4

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot 11$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cdot 11$

Etapa 4.2

Multiplique $- 2$ por $11$ .

$- 22$