Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.2.5.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Etapa 1.1.3.1.4

Mova o termo $5 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π \cdot 1)}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π)}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.6

Simplifique.

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Etapa 1.3.6.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.6.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (5 π x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 π x$ .

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Etapa 1.3.9.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Etapa 1.3.9.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Etapa 1.3.9.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Etapa 1.3.9.2

Como $5 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 π x$ em relação a $x$ é $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 1.3.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

Etapa 1.3.9.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π)}$

Etapa 1.3.9.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - 5 \sin (5 π x) π}$

Etapa 1.3.10

Simplifique.

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Etapa 1.3.10.1

Subtraia $5 \sin (5 π x) π$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 \sin (5 π x) π}$

Etapa 1.3.10.2

Reordene os fatores de $- 5 \sin (5 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Etapa 1.4

Combine os termos.

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Etapa 1.4.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Etapa 1.4.2

Combine $- 1$ e $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Etapa 1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{- 5 π}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{\sin (5 π x)}$

Etapa 2.2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{\sin (5 π x)}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{1 - x}{x}$ por $\frac{1}{\sin (5 π x)}$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.2.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o termo $5 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 3.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 3.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.5.1

Multiplique $\sin (5 π \cdot 1)$ por $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 3.1.3.5.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π)}$

Etapa 3.1.3.5.3

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (π)}$

Etapa 3.1.3.5.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 3.1.3.5.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.5.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Etapa 3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Etapa 3.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Etapa 3.3.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (5 π x)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d x} [\sin (5 π x)] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 π x$ .

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Etapa 3.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 π x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 π x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.8

Como $5 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 π x$ em relação a $x$ é $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \cdot 1 + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.11

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 π x)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cdot \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \cdot 1}$

Etapa 3.3.13

Multiplique $\sin (5 π x)$ por $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x)}$

Etapa 3.3.14

Reordene os termos.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $- 1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Etapa 4.4

Mova o termo $5 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Etapa 4.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Etapa 4.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Etapa 4.7

Mova o termo $5 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Etapa 4.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Etapa 4.9

Mova o termo $5 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 6.2.3

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 6.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- \cos (0)) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 6.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- 1 \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 6.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot - 1 + \sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 6.2.7

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π \cdot 1)}$

Etapa 6.2.8

Multiplique $5$ por $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π)}$

Etapa 6.2.9

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (π)}$

Etapa 6.2.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (0)}$

Etapa 6.2.11

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + 0}$

Etapa 6.2.12

Some $- 5 π$ e $0$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π}$

Etapa 6.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$

Etapa 6.4

Multiplique $- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$ .

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{1}{5 π}$ por $\frac{1}{5 π}$ .

$- \frac{1}{5 π (5 π)}$

Etapa 6.4.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$- \frac{1}{25 π π}$

Etapa 6.4.3

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{25 (π^{1} π)}$

Etapa 6.4.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{25 (π^{1} π^{1})}$

Etapa 6.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{25 π^{1 + 1}}$

Etapa 6.4.6

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

Forma decimal:

$- 0.00405284 \dots$