Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 1.1.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.6

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{1}{x}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} - x$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 1} x$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$- 1$