Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} {(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})}$ como $e^{\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})}$ .

$lim_{x \to 1} e^{\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})$ movendo $\tan (\frac{π x}{2})$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 1} e^{\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)}$

Etapa 2

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 1} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)}$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 1^{-}} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ à medida que $x$ se aproxima de $1$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x) \\ 0.9 & 0.60176479 \\ 0.99 & 0.63340563 \\ 0.999 & 0.63630115 \\ 0.9999 & 0.63658793 \\ 0.99999 & 0.63661658 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $1$ , os valores da função se aproximam de $0.637$ . Portanto, o limite de $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ à medida que $x$ se aproxima de $1$ a partir da esquerda é $0.637$ .

$0.637$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 1^{+}} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ à medida que $x$ se aproxima de $1$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x) \\ 1.1 & 0.66522011 \\ 1.01 & 0.63977162 \\ 1.001 & 0.63693777 \\ 1.0001 & 0.6366516 \end{array}$

Etapa 8

$e^{0.637}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{0.637}$

Forma decimal:

$1.89079996 \dots$