Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{3}{x^{3} - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 1) (x^{3} - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{3}{x^{3} - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3 (x - 1)}{(x^{3} - 1) (x - 1)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x^{3} - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.7

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.8.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.8.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.8.1.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.8.1.5

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.8.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.2.8.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 2.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 2.1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 2.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1)}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1)}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.8.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.8.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.8.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Etapa 2.1.3.8.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.8.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1 - 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1 - 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 1 - 3 (x - 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]$ .

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Etapa 2.3.5.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 (x - 1)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.5.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.6

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{3} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.11

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.12

Mova $3$ para a esquerda de $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 \cdot (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Etapa 2.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Etapa 2.3.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (1 + 0)}$

Etapa 2.3.16

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) \cdot 1}$

Etapa 2.3.17

Multiplique $x^{3} - 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + x^{3} - 1}$

Etapa 2.3.18

Simplifique.

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Etapa 2.3.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} + x^{3} - 1}$

Etapa 2.3.18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Etapa 2.3.18.3

Combine os termos.

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Etapa 2.3.18.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.18.3.1.1

Mova $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Etapa 2.3.18.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.3.18.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Etapa 2.3.18.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Etapa 2.3.18.3.1.3

Some $2$ e $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Etapa 2.3.18.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 1}$

Etapa 2.3.18.3.3

Some $3 x^{3}$ e $x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3.1.2.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3.1.2.1.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 3.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 3.1.3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.7

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.8.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{4 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.8.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.8.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.8.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.8.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 - 1}$

Etapa 3.1.3.8.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 3.1.3.8.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3.5

Some $6 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 3 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 3.3.7.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.7.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.8.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.8.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x + 0}$

Etapa 3.3.10

Some $12 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 lim_{x \to 1} \frac{x}{12 x^{2} - 6 x}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - 6 x}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Etapa 4.4

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Etapa 4.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Etapa 4.6

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$6 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 \frac{1}{12 \cdot 1 - 6 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$6 \frac{1}{12 - 6 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$6 \frac{1}{12 - 6}$

Etapa 6.1.4

Subtraia $6$ de $12$ .

$6 (\frac{1}{6})$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{1}{6})$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$1$