Cálculo Exemplos

$lim_{t \to - 4} \frac{t^{2} - 16}{2 t^{2} + 9 t + 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to - 4} t^{2} - 16}{lim_{t \to - 4} 2 t^{2} + 9 t + 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{lim_{t \to - 4} t^{2} - lim_{t \to - 4} 16}{lim_{t \to - 4} 2 t^{2} + 9 t + 4}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $t^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{t \to - 4} t)}^{2} - lim_{t \to - 4} 16}{lim_{t \to - 4} 2 t^{2} + 9 t + 4}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 4} t)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{t \to - 4} 2 t^{2} + 9 t + 4}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $- 4$ por $t$ .

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{t \to - 4} 2 t^{2} + 9 t + 4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{t \to - 4} 2 t^{2} + 9 t + 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{t \to - 4} 2 t^{2} + 9 t + 4}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 4} 2 t^{2} + 9 t + 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 4} 2 t^{2} + lim_{t \to - 4} 9 t + lim_{t \to - 4} 4}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{0}{2 lim_{t \to - 4} t^{2} + lim_{t \to - 4} 9 t + lim_{t \to - 4} 4}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $t^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 4} t)}^{2} + lim_{t \to - 4} 9 t + lim_{t \to - 4} 4}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 4} t)}^{2} + 9 lim_{t \to - 4} t + lim_{t \to - 4} 4}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 4} t)}^{2} + 9 lim_{t \to - 4} t + 4}$

Etapa 1.1.3.6

Avalie os limites substituindo $- 4$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 1.1.3.6.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $- 4$ por $t$ .

$\frac{0}{2 {(- 4)}^{2} + 9 lim_{t \to - 4} t + 4}$

Etapa 1.1.3.6.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $- 4$ por $t$ .

$\frac{0}{2 {(- 4)}^{2} + 9 \cdot - 4 + 4}$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.7.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 16 + 9 \cdot - 4 + 4}$

Etapa 1.1.3.7.1.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{0}{32 + 9 \cdot - 4 + 4}$

Etapa 1.1.3.7.1.3

Multiplique $9$ por $- 4$ .

$\frac{0}{32 - 36 + 4}$

Etapa 1.1.3.7.2

Subtraia $36$ de $32$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Etapa 1.1.3.7.3

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to - 4} \frac{t^{2} - 16}{2 t^{2} + 9 t + 4} = lim_{t \to - 4} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 16]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9 t + 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to - 4} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 16]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9 t + 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 16$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 16]$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 16]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9 t + 4]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t + \frac{d}{d t} [- 16]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9 t + 4]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 16$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 16$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t + 0}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9 t + 4]}$

Etapa 1.3.5

Some $2 t$ e $0$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9 t + 4]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{2} + 9 t + 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [4]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{2}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t}{2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [4]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t}{2 (2 t) + \frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [4]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t}{4 t + \frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [4]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d t} [9 t]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t}{4 t + 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t}{4 t + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4]}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t}{4 t + 9 + \frac{d}{d t} [4]}$

Etapa 1.3.9

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t}{4 t + 9 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $4 t + 9$ e $0$ .

$lim_{t \to - 4} \frac{2 t}{4 t + 9}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$2 lim_{t \to - 4} \frac{t}{4 t + 9}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $- 4$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 4} t}{lim_{t \to - 4} 4 t + 9}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $- 4$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 4} t}{lim_{t \to - 4} 4 t + lim_{t \to - 4} 9}$

Etapa 2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 4} t}{4 lim_{t \to - 4} t + lim_{t \to - 4} 9}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $- 4$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 4} t}{4 lim_{t \to - 4} t + 9}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 4$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $- 4$ por $t$ .

$2 \frac{- 4}{4 lim_{t \to - 4} t + 9}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $- 4$ por $t$ .

$2 \frac{- 4}{4 \cdot - 4 + 9}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$2 \frac{- 4}{- 16 + 9}$

Etapa 4.1.2

Some $- 16$ e $9$ .

$2 (\frac{- 4}{- 7})$

Etapa 4.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$2 (\frac{4}{7})$

Etapa 4.3

Multiplique $2 (\frac{4}{7})$ .

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Etapa 4.3.1

Combine $2$ e $\frac{4}{7}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{7}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8}{7}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{8}{7}$

Forma decimal:

$1.\overline{142857}$