Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{7 x - 14}{6 x^{2} - 24}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 7 x - 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 7 x - lim_{x \to 2} 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $14$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{7 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{7 \cdot 2 - 1 \cdot 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{14 - 1 \cdot 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $14$ .

$\frac{14 - 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $14$ de $14$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - lim_{x \to 2} 24}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 24}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 24}$

Etapa 1.1.3.1.4

Avalie o limite de $24$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 24}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 24}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{6 \cdot 4 - 1 \cdot 24}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{0}{24 - 1 \cdot 24}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$\frac{0}{24 - 24}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $24$ de $24$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{7 x - 14}{6 x^{2} - 24} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 14$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7 + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 14$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7 + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Etapa 1.3.5

Some $7$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{12 x + \frac{d}{d x} [- 24]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{12 x + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $12 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{12 x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{7}{12}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7}{12} lim_{x \to 2} \frac{1}{x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{7}{12}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{12 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $12$ por $2$ .

$\frac{7}{24}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7}{24}$

Forma decimal:

$0.291\overline{6}$