Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x - 2}{2 x + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x - 2$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 2) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot (2 x + 1) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.12.1

Some $2$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Combine os termos opostos em $3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $3 (2 x)$ e $- 2 (3 x)$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 3 \cdot 1 - 2 \cdot (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Subtraia $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.3

Some $3 \cdot 1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.2.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{3 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 + 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Some $3$ e $4$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}})$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ como ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 2})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = 7 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$f'' (x) = - 14 ({(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} \cdot 2$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $2$ por $- 14$ .

$f'' (x) = - 28 {(2 x + 1)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 28 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 28$ e $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1.1

Como $- 28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$ em relação a $x$ é $- 28 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ como ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{- 3}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$f''' (x) = - 28 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 28 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$f''' (x) = - 28 (- 3 {(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 28$ .

$f''' (x) = 84 ({(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + 0)$

Etapa 3.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} \cdot 2$

Etapa 3.3.7.2

Multiplique $2$ por $84$ .

$f''' (x) = 168 {(2 x + 1)}^{- 4}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 168 (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

Etapa 3.4.2

Combine $168$ e $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 4.1.1

Como $168$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$ em relação a $x$ é $168 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

Etapa 4.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ como ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1})$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 4})$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$f^{4} (x) = 168 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 168 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$f^{4} (x) = 168 (- 4 {(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 4.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $- 4$ por $168$ .

$f^{4} (x) = - 672 ({(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 4.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 4.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 4.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + 0)$

Etapa 4.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} \cdot 2$

Etapa 4.3.7.2

Multiplique $2$ por $- 672$ .

$f^{4} (x) = - 1344 {(2 x + 1)}^{- 5}$

Etapa 4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 1344 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Etapa 4.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Combine $- 1344$ e $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Etapa 4.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$