Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - x - 2}{2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Etapa 3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Etapa 4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Etapa 5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Etapa 7

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Etapa 8

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Etapa 9

Avalie o limite de $5 y^{2}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Etapa 10

Avalie o limite de $5 y$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Etapa 11

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 12.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 12.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{8 - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.1.5

Subtraia $4$ de $8$ .

$\frac{4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.1.6

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.1.7

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 13.2.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.2.1.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ .

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Etapa 13.2.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{0}{2^{1} \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{0}{2^{1 + 3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.2.1.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{0}{2^{4} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.2.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Etapa 13.2.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Etapa 13.2.4

Subtraia $6$ de $16$ .

$\frac{0}{- 5 y^{2} + 5 y + 10}$

Etapa 13.2.5

Reescreva $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ em uma forma fatorada.

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Etapa 13.2.5.1

Fatore $5$ de $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ .

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Etapa 13.2.5.1.1

Fatore $5$ de $- 5 y^{2}$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 10}$

Etapa 13.2.5.1.2

Fatore $5$ de $5 y$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 (y) + 10}$

Etapa 13.2.5.1.3

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 5 \cdot 2}$

Etapa 13.2.5.1.4

Fatore $5$ de $5 (- y^{2}) + 5 y$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2}$

Etapa 13.2.5.1.5

Fatore $5$ de $5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y + 2)}$

Etapa 13.2.5.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 13.2.5.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 13.2.5.2.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + 1 y + 2)}$

Etapa 13.2.5.2.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$\frac{0}{5 (- y^{2} + (- 1 + 2) y + 2)}$

Etapa 13.2.5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{0}{5 (- y^{2} - 1 y + 2 y + 2)}$

Etapa 13.2.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 13.2.5.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{0}{5 ((- y^{2} - 1 y) + 2 y + 2)}$

Etapa 13.2.5.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{0}{5 (y (- y - 1) - 2 (- y - 1))}$

Etapa 13.2.5.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- y - 1$ .

$\frac{0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

$\frac{0}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

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Etapa 13.3.1

Fatore $5$ de $0$ .

$\frac{5 (0)}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Etapa 13.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.3.2.1

Fatore $5$ de $5 (- y - 1) (y - 2)$ .

$\frac{5 (0)}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Etapa 13.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Etapa 13.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{(- y - 1) (y - 2)}$

Etapa 13.4

Divida $0$ por $(- y - 1) (y - 2)$ .

$0$