Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{(2 - x) (2 + x)}$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Expanda $(2 - x) (2 + x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 (2 + x) - x (2 + x)}$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x (2 + x)}$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

Etapa 1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x \cdot x}$

Etapa 1.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1.3.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - (x \cdot x)}$

Etapa 1.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 0 - x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Some $4$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 - x^{2}}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 3.1.2

Divida $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 5.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 + 0}{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.2.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{2}{0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{0 - 1}$

Etapa 7.2.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{2}{- 1}$

Etapa 7.2.3

Divida $2$ por $- 1$ .

$- 2$