Cálculo Exemplos

$lim_{y \to 4} \frac{y^{2} - 16}{\sqrt{y} - 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{y \to 4} y^{2} - 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{y \to 4} y^{2} - lim_{y \to 4} 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $y^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} - lim_{y \to 4} 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $4$ .

$\frac{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $4$ por $y$ .

$\frac{4^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - lim_{y \to 4} 2}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{y \to 4} y} - lim_{y \to 4} 2}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{y \to 4} y} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $4$ por $y$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{y \to 4} \frac{y^{2} - 16}{\sqrt{y} - 2} = lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 16$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 16]$ .

$lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y + \frac{d}{d y} [- 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 16$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 16$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y + 0}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Etapa 1.3.5

Some $2 y$ e $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{y} - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\sqrt{y}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y}] + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d y} [\sqrt{y}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Etapa 1.3.9

Simplifique.

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Etapa 1.3.9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.9.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.9.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.9.2.2

Some $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{y \to 4} 2 y (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5

Reescreva $y^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{y}$ .

$lim_{y \to 4} 2 y (2 \sqrt{y})$

Etapa 1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{y \to 4} 4 y \sqrt{y}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$4 lim_{y \to 4} y \sqrt{y}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $4$ .

$4 lim_{y \to 4} y \cdot lim_{y \to 4} \sqrt{y}$

Etapa 2.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$4 lim_{y \to 4} y \cdot \sqrt{lim_{y \to 4} y}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $y$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $y$ substituindo $4$ por $y$ .

$4 \cdot 4 \cdot \sqrt{lim_{y \to 4} y}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $4$ por $y$ .

$4 \cdot 4 \cdot \sqrt{4}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 \cdot \sqrt{4}$

Etapa 4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$16 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$16 \cdot 2$

Etapa 4.4

Multiplique $16$ por $2$ .

$32$