Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 0}$

Etapa 1.3.8

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2}{2 x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2 x - 2$ e $2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x) - 2}{2 x}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x) + 2 \cdot - 1}{2 x}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x - 1)}{2 x}$

Etapa 1.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x - 1)}{2 (x)}$

Etapa 1.4.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x - 1)}{2 x}$

Etapa 1.4.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 2} \frac{x - 1}{x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{2}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 - 1}{2}$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$