Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{2} - 16}{x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{2} - lim_{x \to 2} 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 \cdot 4 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 - 4 \cdot 2 + 4}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{0}{4 - 8 + 4}$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Etapa 1.1.3.6.3

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{2} - 16}{x^{2} - 4 x + 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Etapa 1.3.5

Some $8 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}$

Etapa 1.3.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2 x - 4$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $8 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 x - 4}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 (x) - 4}$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 x + 2 \cdot - 2}$

Etapa 1.4.2.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 (x - 2)}$

Etapa 1.4.2.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 (x - 2)}$

Etapa 1.4.2.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 2} \frac{4 x}{x - 2}$

Etapa 2

Como a função se aproxima de $- \infty$ a partir da esquerda e de $\infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$