Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} + 2 x - 24}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} + 2 x - 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $24$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4^{2} + 2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4^{2} + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{16 + 8 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$\frac{16 + 8 - 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2.6.2

Some $16$ e $8$ .

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2.6.3

Subtraia $24$ de $24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} + 2 x - 24}{x^{2} - 16} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{2 x + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{2 x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2 x + 2$ e $2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x) + 2}{2 x}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 x}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x + 1)}{2 x}$

Etapa 1.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x + 1)}{2 (x)}$

Etapa 1.4.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x + 1)}{2 x}$

Etapa 1.4.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 4} \frac{x + 1}{x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4 + 1}{lim_{x \to 4} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4 + 1}{4}$

Etapa 4

Some $4$ e $1$ .

$\frac{5}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{4}$

Forma decimal:

$1.25$