Cálculo Exemplos

$y = 3 x + 3$ , $y = x^{2} + 3$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$3 x + 3 = x^{2} + 3$

Etapa 1.2

Resolva $3 x + 3 = x^{2} + 3$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x + 3 - x^{2} = 3$

Etapa 1.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$3 x + 3 - x^{2} - 3 = 0$

Etapa 1.2.3

Combine os termos opostos em $3 x + 3 - x^{2} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$3 x - x^{2} + 0 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Some $3 x - x^{2}$ e $0$ .

$3 x - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore $x$ de $3 x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Fatore $x$ de $3 x$ .

$x \cdot 3 - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$x \cdot 3 + x (- x) = 0$

Etapa 1.2.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot 3 + x (- x)$ .

$x (3 - x) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{2} + 3$

Etapa 1.2.6

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.7

Defina $3 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $3 - x$ como igual a $0$ .

$3 - x = 0$

Etapa 1.2.7.2

Resolva $3 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 1.2.7.2.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.7.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $x (3 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = {(0)}^{2} + 3$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = {(0)}^{2} + 3$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{2} + 3$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $0^{2} + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 3$

Etapa 1.3.2.2.2

Some $0$ e $3$ .

$y = 3$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = {(3)}^{2} + 3$

Etapa 1.4.2

Substitua $3$ por $x$ em $y = {(3)}^{2} + 3$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 3^{2} + 3$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique $3^{2} + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = 9 + 3$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $9$ e $3$ .

$y = 12$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 3)$

$(3, 12)$

$(0, 3)$

$(3, 12)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{3} 3 x + 3 d x - \int_{0}^{3} x^{2} + 3 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{3} 3 x + 3 - (x^{2} + 3) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 3$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 x + 3 - x^{2} - 3$

$\int_{0}^{3} 3 x + 3 - x^{2} - 3 d x$

Etapa 3.3

Combine os termos opostos em $3 x + 3 - x^{2} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$3 x - x^{2} + 0$

Etapa 3.3.2

Some $3 x - x^{2}$ e $0$ .

$3 x - x^{2}$

$\int_{0}^{3} 3 x - x^{2} d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{3} 3 x d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3})$

Etapa 3.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Etapa 3.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $3$ e em $0$ .

$3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Etapa 3.10.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $0$ .

$3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.3.1

Fatore $2$ de $0$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$3 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.5

Some $\frac{9}{2}$ e $0$ .

$3 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.6

Combine $3$ e $\frac{9}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.7

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.8

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.9

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.9.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.9.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27}{2} - (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.9.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0}{3})$

Etapa 3.10.2.3.11

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.11.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 (0)}{3})$

Etapa 3.10.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 3.10.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 3.10.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0}{1})$

Etapa 3.10.2.3.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{27}{2} - (9 - 0)$

Etapa 3.10.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 + 0)$

Etapa 3.10.2.3.13

Some $9$ e $0$ .

$\frac{27}{2} - 1 \cdot 9$

Etapa 3.10.2.3.14

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{27}{2} - 9$

Etapa 3.10.2.3.15

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.10.2.3.16

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.10.2.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{27 - 9 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.10.2.3.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.18.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{27 - 18}{2}$

Etapa 3.10.2.3.18.2

Subtraia $18$ de $27$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 4