Cálculo Exemplos

$y = 3 x - x^{2}$ , $y = - 3 x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$3 x - x^{2} = - 3 x$

Etapa 1.2

Resolva $3 x - x^{2} = - 3 x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Some $3 x$ aos dois lados da equação.

$3 x - x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 1.2.1.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$- x^{2} + 6 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- x$ de $- x^{2} + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $- x$ de $6 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $- x$ de $- x (x) - x (- 6)$ .

$- x (x - 6) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0 + y = - 3 x$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = - 3 \cdot 0$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = - 3 \cdot 0$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 3 \cdot 0$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $6$ por $x$ .

$y = - 3 \cdot 6$

Etapa 1.4.2

Substitua $6$ por $x$ em $y = - 3 \cdot 6$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 3 \cdot 6$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$y = - 18$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(6, - 18)$

$(0, 0)$

$(6, - 18)$

Etapa 2

Reordene $3 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 3 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{6} - x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{6} - 3 x d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{6} - x^{2} + 3 x - (- 3 x) d x$

Etapa 4.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{6} - x^{2} + 3 x + 3 x d x$

Etapa 4.3

Some $3 x$ e $3 x$ .

$\int_{0}^{6} - x^{2} + 6 x d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{6} - x^{2} d x + \int_{0}^{6} 6 x d x$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} 6 x d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 6 x d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 6 x d x$

Etapa 4.8

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + 6 \int_{0}^{6} x d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6})$

Etapa 4.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6})$

Etapa 4.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $6$ e em $0$ .

$- ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6})$

Etapa 4.10.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $6$ e em $0$ .

$- (\frac{6^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$- (\frac{216}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2

Cancele o fator comum de $216$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.2.1

Fatore $3$ de $216$ .

$- (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{72}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2.4

Divida $72$ por $1$ .

$- (72 - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (72 - \frac{0}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.4.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- (72 - \frac{3 (0)}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (72 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- (72 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- (72 - \frac{0}{1}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (72 - 0) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (72 + 0) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.6

Some $72$ e $0$ .

$- 1 \cdot 72 + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.7

Multiplique $- 1$ por $72$ .

$- 72 + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.8

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$- 72 + 6 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.9

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.9.1

Fatore $2$ de $36$ .

$- 72 + 6 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 72 + 6 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- 72 + 6 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- 72 + 6 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.9.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$- 72 + 6 (18 - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 72 + 6 (18 - \frac{0}{2})$

Etapa 4.10.2.3.11

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.11.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- 72 + 6 (18 - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 4.10.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 72 + 6 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$- 72 + 6 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$- 72 + 6 (18 - \frac{0}{1})$

Etapa 4.10.2.3.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 72 + 6 (18 - 0)$

Etapa 4.10.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 72 + 6 (18 + 0)$

Etapa 4.10.2.3.13

Some $18$ e $0$ .

$- 72 + 6 \cdot 18$

Etapa 4.10.2.3.14

Multiplique $6$ por $18$ .

$- 72 + 108$

Etapa 4.10.2.3.15

Some $- 72$ e $108$ .

$36$

Etapa 5