Cálculo Exemplos

$y = 4 x + 5$ , $y = x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$4 x + 5 = x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $4 x + 5 = x^{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 x + 5 - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 1$ de $4 x + 5 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.1

Mova $5$ .

$4 x - x^{2} + 5 = 0$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Reordene $4 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 5 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 4 x + 5 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $4 x$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) + 5 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Etapa 1.2.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 4 x - 5$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 5, 1 + y = x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 5) (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2}$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 5) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $5$ por $x$ .

$y = {(5)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $5$ por $x$ em $y = {(5)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 5^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$y = 25$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 1$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = {(- 1)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = 1$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(5, 25)$

$(- 1, 1)$

$(5, 25)$

$(- 1, 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{5} 4 x + 5 d x - \int_{- 1}^{5} x^{2} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $5$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{5} 4 x + 5 - (x^{2}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{5} 4 x + 5 - x^{2} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{5} 4 x d x + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Etapa 3.4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{- 1}^{5} x d x + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Etapa 3.7

Aplique a regra da constante.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - \int_{- 1}^{5} x^{2} d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{5})$

Etapa 3.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.10.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Etapa 3.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $5$ e em $- 1$ .

$4 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Etapa 3.10.2.2

Avalie $5 x$ em $5$ e em $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Etapa 3.10.2.3

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $5$ e em $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{25 - 1}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.4

Subtraia $1$ de $25$ .

$4 (\frac{24}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5

Cancele o fator comum de $24$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.5.1

Fatore $2$ de $24$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 (1)} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{12}{1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$4 \cdot 12 + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.6

Multiplique $4$ por $12$ .

$48 + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.7

Multiplique $5$ por $5$ .

$48 + 25 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.8

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$48 + 25 + 5 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.9

Some $25$ e $5$ .

$48 + 30 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.10

Some $48$ e $30$ .

$78 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.11

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$78 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.12

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$78 - (\frac{125}{3} - \frac{- 1}{3})$

Etapa 3.10.2.4.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$78 - (\frac{125}{3} - - \frac{1}{3})$

Etapa 3.10.2.4.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$78 - (\frac{125}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Etapa 3.10.2.4.15

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$78 - (\frac{125}{3} + \frac{1}{3})$

Etapa 3.10.2.4.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$78 - \frac{125 + 1}{3}$

Etapa 3.10.2.4.17

Some $125$ e $1$ .

$78 - \frac{126}{3}$

Etapa 3.10.2.4.18

Cancele o fator comum de $126$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.18.1

Fatore $3$ de $126$ .

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3}$

Etapa 3.10.2.4.18.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.18.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Etapa 3.10.2.4.18.2.2

Cancele o fator comum.

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Etapa 3.10.2.4.18.2.3

Reescreva a expressão.

$78 - \frac{42}{1}$

Etapa 3.10.2.4.18.2.4

Divida $42$ por $1$ .

$78 - 1 \cdot 42$

Etapa 3.10.2.4.19

Multiplique $- 1$ por $42$ .

$78 - 42$

Etapa 3.10.2.4.20

Subtraia $42$ de $78$ .

$36$

Etapa 4