Cálculo Exemplos

$y = - 4 \sin (x)$ , $y = \sin (2 x)$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$

Etapa 1.2

Resolva $- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $\sin (2 x)$ dos dois lados da equação.

$- 4 \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$- 4 \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Etapa 1.2.3.1

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Etapa 1.2.3.1.1

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 4 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 2 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 1.2.3.1.2

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x)) = 0$

Etapa 1.2.3.1.3

Fatore $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 2 - 1 \cos (x)) = 0$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 - \cos (x) = 0 + y = \sin (2 x)$

Etapa 1.2.5

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 1.2.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 1.2.5.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 1.2.5.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.5.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.6

Defina $- 2 - \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $- 2 - \cos (x)$ como igual a $0$ .

$- 2 - \cos (x) = 0$

Etapa 1.2.6.2

Resolva $- 2 - \cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.6.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- \cos (x) = 2$

Etapa 1.2.6.2.2

Divida cada termo em $- \cos (x) = 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.6.2.2.1

Divida cada termo em $- \cos (x) = 2$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{2}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.2.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{2}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.6.2.2.3.1

Divida $2$ por $- 1$ .

$\cos (x) = - 2$

Etapa 1.2.6.2.3

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 2$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

No $s o l u t i o n + y = \sin (2 x)$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.8

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = π n$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $π n$ por $x$ .

$y = \sin (2 (π n))$

Etapa 1.3.2

Remova os parênteses.

$y = \sin (2 π n)$

Etapa 1.4

Liste todas as soluções.

$y = \sin (2 π n), x = π n$

Etapa 2

A área entre as curvas em questão é ilimitada.

Área não limitada

Etapa 3