Cálculo Exemplos

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = - 3$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$2 x - x^{2} = - 3$

Etapa 1.2

Resolva $2 x - x^{2} = - 3$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 1$ de $2 x - x^{2} + 3$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 1.2.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1 + y = - 3$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0 + y = - 3$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 1$

Etapa 1.3

Substitua $3$ por $x$ .

$y = - 3$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(3, - 3)$

$(- 1, - 3)$

$(3, - 3)$

$(- 1, - 3)$

Etapa 2

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 1}^{3} - 3 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $3$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x - (- 3) d x$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x + 3 d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Etapa 4.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Etapa 4.7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Etapa 4.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Etapa 4.10

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Etapa 4.11

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.11.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $- 1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Etapa 4.11.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $3$ e em $- 1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Etapa 4.11.3

Avalie $3 x$ em $3$ e em $- 1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4

Simplifique.

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Etapa 4.11.4.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

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Etapa 4.11.4.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.11.4.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- (9 - \frac{- 1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (9 - - \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.6

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- (9 + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.7

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.8

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.11.4.10.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$- \frac{27 + 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.10.2

Some $27$ e $1$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.12

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{9 - 1}{2} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.14

Subtraia $1$ de $9$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{8}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.15

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 4.11.4.15.1

Fatore $2$ de $8$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.4.15.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.15.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.15.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{4}{1}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.15.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \cdot 4 + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.16

Multiplique $2$ por $4$ .

$- \frac{28}{3} + 8 + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.17

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{28}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.18

Combine $8$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{28}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 28 + 8 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.20

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.4.20.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{- 28 + 24}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.20.2

Some $- 28$ e $24$ .

$\frac{- 4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.22

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{4}{3} + 9 - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.11.4.23

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 9 + 3$

Etapa 4.11.4.24

Some $9$ e $3$ .

$- \frac{4}{3} + 12$

Etapa 4.11.4.25

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.11.4.26

Combine $12$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.11.4.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 + 12 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.11.4.28

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.4.28.1

Multiplique $12$ por $3$ .

$\frac{- 4 + 36}{3}$

Etapa 4.11.4.28.2

Some $- 4$ e $36$ .

$\frac{32}{3}$

Etapa 5