Cálculo Exemplos

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = - x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$2 x - x^{2} = - x$

Etapa 1.2

Resolva $2 x - x^{2} = - x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$2 x - x^{2} + x = 0$

Etapa 1.2.1.2

Some $2 x$ e $x$ .

$- x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- x$ de $- x^{2} + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 3 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $- x$ de $3 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 3 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $- x$ de $- x (x) - x (- 3)$ .

$- x (x - 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0 + y = - x$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = - (0)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = - (3)$

Etapa 1.4.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = - 3$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(3, - 3)$

$(0, 0)$

$(3, - 3)$

Etapa 2

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{3} - x d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x - (- x) d x$

Etapa 4.2

Multiplique $- (- x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x + 1 x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- x^{2} + 2 x + x$

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x + x d x$

Etapa 4.3

Some $2 x$ e $x$ .

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 3 x d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{3} - x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Etapa 4.8

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 \int_{0}^{3} x d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Etapa 4.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Etapa 4.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $0$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Etapa 4.10.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $3$ e em $0$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$- (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (9 - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.4.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- (9 - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (9 - 0) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (9 + 0) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.6

Some $9$ e $0$ .

$- 1 \cdot 9 + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.7

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 9 + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 4.10.2.3.10

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.10.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 4.10.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 4.10.2.3.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - 0)$

Etapa 4.10.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} + 0)$

Etapa 4.10.2.3.12

Some $\frac{9}{2}$ e $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2})$

Etapa 4.10.2.3.13

Combine $3$ e $\frac{9}{2}$ .

$- 9 + \frac{3 \cdot 9}{2}$

Etapa 4.10.2.3.14

Multiplique $3$ por $9$ .

$- 9 + \frac{27}{2}$

Etapa 4.10.2.3.15

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Etapa 4.10.2.3.16

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Etapa 4.10.2.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 9 \cdot 2 + 27}{2}$

Etapa 4.10.2.3.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.18.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{- 18 + 27}{2}$

Etapa 4.10.2.3.18.2

Some $- 18$ e $27$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 5