Cálculo Exemplos

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x^{2} - 4$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$2 x - x^{2} = x^{2} - 4$

Etapa 1.2

Resolva $2 x - x^{2} = x^{2} - 4$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x - x^{2} - x^{2} = - 4$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$2 x - 2 x^{2} = - 4$

Etapa 1.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$2 x - 2 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $- 2$ de $2 x - 2 x^{2} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Reordene $2 x$ e $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.3.1.2

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.3.1.3

Fatore $- 2$ de $2 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- x) + 4 = 0$

Etapa 1.2.3.1.4

Fatore $- 2$ de $4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.2.3.1.5

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (- x)$ .

$- 2 (x^{2} - x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.2.3.1.6

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2} - x) - 2 (- 2)$ .

$- 2 (x^{2} - x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3.2

Fatore.

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Etapa 1.2.3.2.1

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1 + y = x^{2} - 4$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 2 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2} - 4$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = {(2)}^{2} - 4$

Etapa 1.3.2

Substitua $2$ por $x$ em $y = {(2)}^{2} - 4$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2^{2} - 4$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $2^{2} - 4$ .

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Etapa 1.3.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = 4 - 4$

Etapa 1.3.2.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 1$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.2

Simplifique ${(- 1)}^{2} - 4$ .

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Etapa 1.4.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = 1 - 4$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$y = - 3$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2, 0)$

$(- 1, - 3)$

$(2, 0)$

$(- 1, - 3)$

Etapa 2

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} - 4 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $2$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x - (x^{2} - 4) d x$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 2 x - x^{2} - - 4$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x - x^{2} + 4 d x$

Etapa 4.3

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{2} - 2 x^{2} + 2 x + 4 d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Etapa 4.5

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Etapa 4.8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Etapa 4.11

Aplique a regra da constante.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Etapa 4.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $- 1$ .

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Etapa 4.12.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $- 1$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Etapa 4.12.3

Avalie $4 x$ em $2$ e em $- 1$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4

Simplifique.

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Etapa 4.12.4.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 \frac{8 + 1}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.7

Some $8$ e $1$ .

$- 2 (\frac{9}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.8

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.8.1

Fatore $3$ de $9$ .

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (\frac{3}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.8.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$- 2 \cdot 3 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.9

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 6 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 6 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.11

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.11.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.11.2.2

Cancele o fator comum.

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.11.2.3

Reescreva a expressão.

$- 6 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.11.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- 6 + 2 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.12

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 6 + 2 (2 - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.13

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 6 + 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.14

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 6 + 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.16.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 6 + 2 \frac{4 - 1}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.16.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$- 6 + 2 (\frac{3}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.17

Combine $2$ e $\frac{3}{2}$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.18

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 6 + \frac{6}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.19

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.19.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.19.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.19.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.19.2.2

Cancele o fator comum.

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.19.2.3

Reescreva a expressão.

$- 6 + \frac{3}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.19.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$- 6 + 3 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.20

Some $- 6$ e $3$ .

$- 3 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.21

Multiplique $4$ por $2$ .

$- 3 + 8 - 4 \cdot - 1$

Etapa 4.12.4.22

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- 3 + 8 + 4$

Etapa 4.12.4.23

Some $8$ e $4$ .

$- 3 + 12$

Etapa 4.12.4.24

Some $- 3$ e $12$ .

$9$

Etapa 5