Cálculo Exemplos

$y = 6 x - x^{2}$ , $y = - 4 x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$6 x - x^{2} = - 4 x$

Etapa 1.2

Resolva $6 x - x^{2} = - 4 x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Some $4 x$ aos dois lados da equação.

$6 x - x^{2} + 4 x = 0$

Etapa 1.2.1.2

Some $6 x$ e $4 x$ .

$- x^{2} + 10 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- x$ de $- x^{2} + 10 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 10 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $- x$ de $10 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 10 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $- x$ de $- x (x) - x (- 10)$ .

$- x (x - 10) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0 + y = - 4 x$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 10$ como igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x - 10) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 10$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = - 4 \cdot 0$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = - 4 \cdot 0$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 4 \cdot 0$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $10$ por $x$ .

$y = - 4 \cdot 10$

Etapa 1.4.2

Substitua $10$ por $x$ em $y = - 4 \cdot 10$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 4 \cdot 10$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $- 4$ por $10$ .

$y = - 40$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(10, - 40)$

$(0, 0)$

$(10, - 40)$

Etapa 2

Reordene $6 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 6 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{10} - x^{2} + 6 x d x - \int_{0}^{10} - 4 x d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{10} - x^{2} + 6 x - (- 4 x) d x$

Etapa 4.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{10} - x^{2} + 6 x + 4 x d x$

Etapa 4.3

Some $6 x$ e $4 x$ .

$\int_{0}^{10} - x^{2} + 10 x d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{10} - x^{2} d x + \int_{0}^{10} 10 x d x$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{10} x^{2} d x + \int_{0}^{10} 10 x d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 x d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 x d x$

Etapa 4.8

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 10 \int_{0}^{10} x d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 10 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{10})$

Etapa 4.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 10 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10})$

Etapa 4.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $10$ e em $0$ .

$- ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10})$

Etapa 4.10.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $10$ e em $0$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.1

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{0}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{1000}{3} - \frac{0}{1}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (\frac{1000}{3} - 0) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (\frac{1000}{3} + 0) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.5

Some $\frac{1000}{3}$ e $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.6

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{100}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.7

Cancele o fator comum de $100$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.7.1

Fatore $2$ de $100$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{50}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.7.2.4

Divida $50$ por $1$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{0}{2})$

Etapa 4.10.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.9.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 4.10.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{0}{1})$

Etapa 4.10.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - 0)$

Etapa 4.10.2.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 + 0)$

Etapa 4.10.2.3.11

Some $50$ e $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 \cdot 50$

Etapa 4.10.2.3.12

Multiplique $10$ por $50$ .

$- \frac{1000}{3} + 500$

Etapa 4.10.2.3.13

Para escrever $500$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1000}{3} + 500 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.10.2.3.14

Combine $500$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1000}{3} + \frac{500 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.10.2.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1000 + 500 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.10.2.3.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.16.1

Multiplique $500$ por $3$ .

$\frac{- 1000 + 1500}{3}$

Etapa 4.10.2.3.16.2

Some $- 1000$ e $1500$ .

$\frac{500}{3}$

Etapa 5