Cálculo Exemplos

$y = \ln (x)$ , $y = x^{2} - 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\ln (x) = x^{2} - 2$

Etapa 1.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 0.13793482, 1.56446225 + y = x^{2} - 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0.13793482$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $0.13793482$ por $x$ .

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Etapa 1.3.2

Substitua $0.13793482$ por $x$ em $y = {(0.13793482)}^{2} - 2$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = {0.13793482}^{2} - 2$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique ${(0.13793482)}^{2} - 2$ .

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Etapa 1.3.2.3.1

Eleve $0.13793482$ à potência de $2$ .

$y = 0.01902601 - 2$

Etapa 1.3.2.3.2

Subtraia $2$ de $0.01902601$ .

$y = - 1.98097398$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 1.56446225$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $1.56446225$ por $x$ .

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Etapa 1.4.2

Substitua $1.56446225$ por $x$ em $y = {(1.56446225)}^{2} - 2$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = {1.56446225}^{2} - 2$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Etapa 1.4.2.3

Simplifique ${(1.56446225)}^{2} - 2$ .

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Etapa 1.4.2.3.1

Eleve $1.56446225$ à potência de $2$ .

$y = 2.44754216 - 2$

Etapa 1.4.2.3.2

Subtraia $2$ de $2.44754216$ .

$y = 0.44754216$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} - 2 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0.13793482$ e $1.56446225$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - (x^{2} - 2) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x) - x^{2} - - 2$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\ln (x) - x^{2} + 2$

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - x^{2} + 2 d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Etapa 3.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x \frac{1}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Etapa 3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Etapa 3.6

Aplique a regra da constante.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Etapa 3.10

Aplique a regra da constante.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$

Etapa 3.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.11.1

Combine $\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ e $2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ .

$\ln (x) x + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Etapa 3.11.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.11.2.1

Avalie $\ln (x) x + 2 x$ em $1.56446225$ e em $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Etapa 3.11.2.2

Avalie $x$ em $1.56446225$ e em $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Etapa 3.11.2.3

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1.56446225$ e em $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4

Simplifique.

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Etapa 3.11.2.4.1

Multiplique $\ln (1.56446225)$ por $1.56446225$ .

$0.70016281 + 2 \cdot 1.56446225 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.2

Multiplique $2$ por $1.56446225$ .

$0.70016281 + 3.12892451 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.3

Some $0.70016281$ e $3.12892451$ .

$3.82908733 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.4

Multiplique $\ln (0.13793482)$ por $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.5

Multiplique $2$ por $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 0.27586965) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.6

Some $- 0.2732453$ e $0.27586965$ .

$3.82908733 - 1 \cdot 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.7

Multiplique $- 1$ por $0.00262435$ .

$3.82908733 - 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.8

Subtraia $0.00262435$ de $3.82908733$ .

$3.82646298 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.9

Subtraia $0.13793482$ de $1.56446225$ .

$3.82646298 - 1 \cdot 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.10

Multiplique $- 1$ por $1.42652743$ .

$3.82646298 - 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.11

Subtraia $1.42652743$ de $3.82646298$ .

$2.39993555 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.12

Eleve $1.56446225$ à potência de $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.13

Eleve $0.13793482$ à potência de $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{0.00262435}{3})$

Etapa 3.11.2.4.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2.39993555 - \frac{3.82908733 - 0.00262435}{3}$

Etapa 3.11.2.4.15

Subtraia $0.00262435$ de $3.82908733$ .

$2.39993555 - \frac{3.82646298}{3}$

Etapa 3.11.2.4.16

Para escrever $2.39993555$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2.39993555 \cdot \frac{3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Etapa 3.11.2.4.17

Combine $2.39993555$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2.39993555 \cdot 3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Etapa 3.11.2.4.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2.39993555 \cdot 3 - 3.82646298}{3}$

Etapa 3.11.2.4.19

Multiplique $2.39993555$ por $3$ .

$\frac{7.19980666 - 3.82646298}{3}$

Etapa 3.11.2.4.20

Subtraia $3.82646298$ de $7.19980666$ .

$\frac{3.37334367}{3}$

Etapa 3.12

Divida $3.37334367$ por $3$ .

$1.12444789$

Etapa 4