Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + x$ , $x = 6$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} + x = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} + x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 1.2.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Etapa 1.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0 + y = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 1.3

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 0 d x - \int_{- 1}^{0} x^{2} + x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{0} 0 - (x^{2} + x) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $x^{2} + x$ de $0$ .

$\int_{- 1}^{0} - (x^{2} + x) d x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} - x d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - \int_{- 1}^{0} x d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Etapa 3.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Etapa 3.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $0$ e em $- 1$ .

$- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Etapa 3.10.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $0$ e em $- 1$ .

$- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.2

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.2.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- (0 - \frac{- 1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (0 - - \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (0 + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.6

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- (0 + \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.7

Some $0$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.9.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{2})$

Etapa 3.10.2.3.11

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{3} - - \frac{1}{2}$

Etapa 3.10.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.10.2.3.13

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.10.2.3.14

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.10.2.3.15

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.10.2.3.16

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.16.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.10.2.3.16.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.10.2.3.16.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.10.2.3.16.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.10.2.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

Etapa 3.10.2.3.18

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 4

$A r e a = \int_{0}^{6} x^{2} + x d x - \int_{0}^{6} 0 d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $0$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{6} x^{2} + x - (0) d x$

Etapa 5.2

Subtraia $0$ de $x^{2} + x$ .

$\int_{0}^{6} x^{2} + x d x$

Etapa 5.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Etapa 5.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ e $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Etapa 5.6.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ em $6$ e em $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $216$ .

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.3

Cancele o fator comum de $216$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.3.1

Fatore $3$ de $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.3.2.4

Divida $72$ por $1$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $36$ .

$72 + \frac{36}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.6

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.6.1

Fatore $2$ de $36$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$72 + \frac{18}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.6.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$72 + 18 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.7

Some $72$ e $18$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.9

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 5.6.2.2.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 5.6.2.2.11

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$90 - (0 + 0)$

Etapa 5.6.2.2.12

Some $0$ e $0$ .

$90 - 0$

Etapa 5.6.2.2.13

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$90 + 0$

Etapa 5.6.2.2.14

Some $90$ e $0$ .

$90$

Etapa 6

Some as áreas $\frac{1}{6} + 90$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Para escrever $90$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + 90 \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 6.2

Combine $90$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + \frac{90 \cdot 6}{6}$

Etapa 6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 90 \cdot 6}{6}$

Etapa 6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique $90$ por $6$ .

$\frac{1 + 540}{6}$

Etapa 6.4.2

Some $1$ e $540$ .

$\frac{541}{6}$

Etapa 7