Cálculo Exemplos

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\cos (11 x) = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\cos (11 x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$11 x = \arccos (0)$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$11 x = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $11 x = \frac{π}{2}$ por $11$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $11 x = \frac{π}{2}$ por $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Etapa 1.2.3.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

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Etapa 1.2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $11$ .

$x = \frac{π}{22}$

Etapa 1.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.5.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 1.2.5.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$11 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.5.2

Divida cada termo em $11 x = \frac{3 π}{2}$ por $11$ e simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.1

Divida cada termo em $11 x = \frac{3 π}{2}$ por $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Etapa 1.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 1.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Etapa 1.2.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

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Etapa 1.2.5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

Etapa 1.2.5.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $11$ .

$x = \frac{3 π}{22}$

Etapa 1.2.6

Encontre o período de $\cos (11 x)$ .

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Etapa 1.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.6.2

Substitua $b$ por $11$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

Etapa 1.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $11$ é $11$ .

$\frac{2 π}{11}$

Etapa 1.2.7

O período da função $\cos (11 x)$ é $\frac{2 π}{11}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{11}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Substitua $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $\frac{π}{22}$ e $\frac{π}{11}$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $\cos (11 x)$ de $0$ .

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

Etapa 3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Etapa 3.4

Deixe $u = 11 x$ . Depois, $d u = 11 d x$ , então, $\frac{1}{11} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.4.1

Deixe $u = 11 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.4.1.1

Diferencie $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Etapa 3.4.1.2

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $11$ por $1$ .

$11$

Etapa 3.4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 11 x$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $11$ de $22$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

Etapa 3.4.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

Etapa 3.4.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Etapa 3.4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 11 x$ .

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Etapa 3.4.5

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 3.4.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Etapa 3.4.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 3.4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Etapa 3.4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

Etapa 3.5

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{11}$ .

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

Etapa 3.6

Como $\frac{1}{11}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{11}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

Etapa 3.7

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Etapa 3.8

Avalie $\sin (u)$ em $π$ e em $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Etapa 3.9.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.10.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

Etapa 3.10.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

Etapa 3.10.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

Etapa 3.10.3

Multiplique $- \frac{1}{11} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.10.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{11})$

Etapa 3.10.3.2

Multiplique $\frac{1}{11}$ por $1$ .

$\frac{1}{11}$

Etapa 4