Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 2 x + 3$ , $y = 4 - 2 x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 2 x + 3 = 4 - 2 x$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 2 x + 3 = 4 - 2 x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x + 3 + 2 x = 4$

Etapa 1.2.1.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - 2 x + 3 + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$x^{2} + 0 + 3 = 4$

Etapa 1.2.1.2.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} + 3 = 4$

Etapa 1.2.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = 4 - 3$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = 4 - 2 \cdot 1$

Etapa 1.3.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = 4 - 2 \cdot 1$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 - 2 \cdot 1$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $4 - 2 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$y = 4 - 2$

Etapa 1.3.2.2.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$y = 2$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = 4 - 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2

Substitua $- 1$ por $x$ em $y = 4 - 2 \cdot - 1$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 - 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique $4 - 2 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = 4 + 2$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $4$ e $2$ .

$y = 6$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 2)$

$(- 1, 6)$

$(1, 2)$

$(- 1, 6)$

Etapa 2

Reordene $4$ e $- 2 x$ .

$y = - 2 x + 4$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - 2 x + 4 d x - \int_{- 1}^{1} x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{1} - 2 x + 4 - (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 3$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 3$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 3$

$\int_{- 1}^{1} - 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 3 d x$

Etapa 4.3

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Combine os termos opostos em $- 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$4 - x^{2} + 0 - 3$

Etapa 4.3.1.2

Some $4 - x^{2}$ e $0$ .

$4 - x^{2} - 3$

Etapa 4.3.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$- x^{2} + 1$

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Etapa 4.8

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1}$

Etapa 4.9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $- 1$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1}$

Etapa 4.9.2

Avalie $x$ em $1$ e em $- 1$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1$

Etapa 4.9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1$

Etapa 4.9.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1$

Etapa 4.9.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1$

Etapa 4.9.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1$

Etapa 4.9.3.5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1$

Etapa 4.9.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1$

Etapa 4.9.3.7

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{2}{3} + 1 + 1$

Etapa 4.9.3.8

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{2}{3} + 2$

Etapa 4.9.3.9

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.9.3.10

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.9.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.9.3.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.12.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{- 2 + 6}{3}$

Etapa 4.9.3.12.2

Some $- 2$ e $6$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 5