Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 3 x$ , $y = 3 x + 7$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 3 x = 3 x + 7$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 3 x = 3 x + 7$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 3 x = 7$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 6 x = 7$

Etapa 1.2.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $x^{2} - 6 x - 7$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 7, 1 + y = 3 x + 7$

Etapa 1.2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0 + y = 3 x + 7$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 7$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $7$ por $x$ .

$y = 3 (7) + 7$

Etapa 1.3.2

Simplifique $3 (7) + 7$ .

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $3$ por $7$ .

$y = 21 + 7$

Etapa 1.3.2.2

Some $21$ e $7$ .

$y = 28$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 1$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = 3 (- 1) + 7$

Etapa 1.4.2

Simplifique $3 (- 1) + 7$ .

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Etapa 1.4.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y = - 3 + 7$

Etapa 1.4.2.2

Some $- 3$ e $7$ .

$y = 4$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(7, 28)$

$(- 1, 4)$

$(7, 28)$

$(- 1, 4)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{7} 3 x + 7 d x - \int_{- 1}^{7} x^{2} - 3 x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $7$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{7} 3 x + 7 - (x^{2} - 3 x) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x + 7 - x^{2} - (- 3 x)$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3 x + 7 - x^{2} + 3 x$

$\int_{- 1}^{7} 3 x + 7 - x^{2} + 3 x d x$

Etapa 3.3

Some $3 x$ e $3 x$ .

$\int_{- 1}^{7} 6 x + 7 - x^{2} d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{7} 6 x d x + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{- 1}^{7} x d x + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

Etapa 3.8

Aplique a regra da constante.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

Etapa 3.9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} - \int_{- 1}^{7} x^{2} d x$

Etapa 3.10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{7})$

Etapa 3.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.11.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7})$

Etapa 3.11.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.11.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $7$ e em $- 1$ .

$6 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7})$

Etapa 3.11.2.2

Avalie $7 x$ em $7$ e em $- 1$ .

$6 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7})$

Etapa 3.11.2.3

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $7$ e em $- 1$ .

$6 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4

Simplifique.

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Etapa 3.11.2.4.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$6 (\frac{49}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$6 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 \frac{49 - 1}{2} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.4

Subtraia $1$ de $49$ .

$6 (\frac{48}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.5

Cancele o fator comum de $48$ e $2$ .

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Etapa 3.11.2.4.5.1

Fatore $2$ de $48$ .

$6 \frac{2 \cdot 24}{2} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.11.2.4.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$6 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{24}{1}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.5.2.4

Divida $24$ por $1$ .

$6 \cdot 24 + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.6

Multiplique $6$ por $24$ .

$144 + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.7

Multiplique $7$ por $7$ .

$144 + 49 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.8

Multiplique $- 7$ por $- 1$ .

$144 + 49 + 7 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.9

Some $49$ e $7$ .

$144 + 56 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.10

Some $144$ e $56$ .

$200 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.11

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$200 - (\frac{343}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.12

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$200 - (\frac{343}{3} - \frac{- 1}{3})$

Etapa 3.11.2.4.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$200 - (\frac{343}{3} - - \frac{1}{3})$

Etapa 3.11.2.4.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$200 - (\frac{343}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Etapa 3.11.2.4.15

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$200 - (\frac{343}{3} + \frac{1}{3})$

Etapa 3.11.2.4.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$200 - \frac{343 + 1}{3}$

Etapa 3.11.2.4.17

Some $343$ e $1$ .

$200 - \frac{344}{3}$

Etapa 3.11.2.4.18

Para escrever $200$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$200 \cdot \frac{3}{3} - \frac{344}{3}$

Etapa 3.11.2.4.19

Combine $200$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{200 \cdot 3}{3} - \frac{344}{3}$

Etapa 3.11.2.4.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{200 \cdot 3 - 344}{3}$

Etapa 3.11.2.4.21

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.2.4.21.1

Multiplique $200$ por $3$ .

$\frac{600 - 344}{3}$

Etapa 3.11.2.4.21.2

Subtraia $344$ de $600$ .

$\frac{256}{3}$

Etapa 4