Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 5 x + 6$ , $y = x - 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 5 x + 6 - x = - 2$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $x$ de $- 5 x$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = - 2$

Etapa 1.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 6 x + 6 + 2 = 0$

Etapa 1.2.3

Some $6$ e $2$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore $x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2 + y = x - 2$

Etapa 1.2.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 2$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.7

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.7.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 4$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = (4) - 2$

Etapa 1.3.2

Substitua $4$ por $x$ em $y = (4) - 2$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 - 2$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = (4) - 2$

Etapa 1.3.2.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$y = 2$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = (2) - 2$

Etapa 1.4.2

Substitua $2$ por $x$ em $y = (2) - 2$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 - 2$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = (2) - 2$

Etapa 1.4.2.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$y = 0$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(4, 2)$

$(2, 0)$

$(4, 2)$

$(2, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{4} x - 2 d x - \int_{2}^{4} x^{2} - 5 x + 6 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $2$ e $4$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{2}^{4} x - 2 - (x^{2} - 5 x + 6) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 2 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 6$

$\int_{2}^{4} x - 2 - x^{2} + 5 x - 6 d x$

Etapa 3.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.1

Some $x$ e $5 x$ .

$6 x - 2 - x^{2} - 6$

Etapa 3.3.2

Subtraia $6$ de $- 2$ .

$6 x - x^{2} - 8$

$\int_{2}^{4} 6 x - x^{2} - 8 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{2}^{4} 6 x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.5

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - \int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.10

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.11

Aplique a regra da constante.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Etapa 3.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.12.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $4$ e em $2$ .

$6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Etapa 3.12.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Etapa 3.12.3

Avalie $- 8 x$ em $4$ e em $2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4

Simplifique.

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Etapa 3.12.4.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 3.12.4.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.12.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$6 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$6 (8 - \frac{4}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (8 - \frac{2}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$6 (8 - 1 \cdot 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (8 - 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.6

Subtraia $2$ de $8$ .

$6 \cdot 6 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.7

Multiplique $6$ por $6$ .

$36 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.8

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{8}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$36 - \frac{64 - 8}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.11

Subtraia $8$ de $64$ .

$36 - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.12

Para escrever $36$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$36 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.13

Combine $36$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{36 \cdot 3 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.15.1

Multiplique $36$ por $3$ .

$\frac{108 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.15.2

Subtraia $56$ de $108$ .

$\frac{52}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.16

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.17

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 16$

Etapa 3.12.4.18

Some $- 32$ e $16$ .

$\frac{52}{3} - 16$

Etapa 3.12.4.19

Para escrever $- 16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.12.4.20

Combine $- 16$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.12.4.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{52 - 16 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.12.4.22

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.22.1

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$\frac{52 - 48}{3}$

Etapa 3.12.4.22.2

Subtraia $48$ de $52$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 4