Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + 2 x$ , $x = 1$ , $x = 3$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} + 2 x = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} + 2 x = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 2 x = 0$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 2 = 0$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$x (x + 2) = 0$

Etapa 1.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0 + y = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 1.3

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(- 2, 0)$

$(0, 0)$

$(- 2, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{2} + 2 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $3$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{3} x^{2} + 2 x - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $x^{2} + 2 x$ .

$\int_{1}^{3} x^{2} + 2 x d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 2 x d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} 2 x d x$

Etapa 3.5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 \int_{1}^{3} x d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Etapa 3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Etapa 3.7.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.7.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3}$ em $3$ e em $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Etapa 3.7.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $3$ e em $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.7.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $27$ .

$\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.3

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.3.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.3.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$9 - \frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 - \frac{1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.7

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.2.3.9.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{27 - 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9.2

Subtraia $1$ de $27$ .

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 3.7.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{26}{3} + 2 \frac{9 - 1}{2}$

Etapa 3.7.2.3.13

Subtraia $1$ de $9$ .

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{8}{2})$

Etapa 3.7.2.3.14

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.14.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{26}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Etapa 3.7.2.3.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.14.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{26}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Etapa 3.7.2.3.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{26}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.2.3.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{4}{1})$

Etapa 3.7.2.3.14.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{26}{3} + 2 \cdot 4$

Etapa 3.7.2.3.15

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{26}{3} + 8$

Etapa 3.7.2.3.16

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{26}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.7.2.3.17

Combine $8$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{26}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.7.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{26 + 8 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.7.2.3.19

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.2.3.19.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{26 + 24}{3}$

Etapa 3.7.2.3.19.2

Some $26$ e $24$ .

$\frac{50}{3}$

Etapa 4