Cálculo Exemplos

$y = x^{2}$ , $y = 4 x - x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} = 4 x - x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} = 4 x - x^{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$4 x - x^{2} = x^{2}$

Etapa 1.2.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 x - x^{2} - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$4 u - 2 u^{2} = 0$

Etapa 1.2.3.2

Fatore $2 u$ de $4 u - 2 u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Fatore $2 u$ de $4 u$ .

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Fatore $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

Etapa 1.2.3.2.3

Fatore $2 u$ de $2 u (2) + 2 u (- u)$ .

$2 u (2 - u) = 0$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0 + y = 4 x - x^{2}$

Etapa 1.2.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.6

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 1.2.6.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 1.2.6.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (2 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 4 (0) - {(0)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = 4 (0) - {(0)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 (0) - 0^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $4 (0) - 0^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$y = 0 - 0^{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 0$

Etapa 1.3.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$y = 0 + 0$

Etapa 1.3.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = 4 (2) - {(2)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Substitua $2$ por $x$ em $y = 4 (2) - {(2)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 (2) - 2^{2}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique $4 (2) - 2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$y = 8 - 2^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = 8 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = 8 - 4$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$y = 4$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(2, 4)$

$(0, 0)$

$(2, 4)$

Etapa 2

Reordene $4 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x - (x^{2}) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{2} - 2 x^{2} + 4 x d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Etapa 4.4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Etapa 4.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Etapa 4.7

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 \int_{0}^{2} x d x$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Etapa 4.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Etapa 4.9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $0$ .

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Etapa 4.9.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $0$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - 0) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + 0) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.5

Some $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.6

Combine $- 2$ e $\frac{8}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.7

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$\frac{- 16}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.10

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.10.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.10.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.11

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0}{2})$

Etapa 4.9.2.3.12

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.12.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 4.9.2.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.12.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.9.2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.9.2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0}{1})$

Etapa 4.9.2.3.12.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - 0)$

Etapa 4.9.2.3.13

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 + 0)$

Etapa 4.9.2.3.14

Some $2$ e $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2$

Etapa 4.9.2.3.15

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8$

Etapa 4.9.2.3.16

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.9.2.3.17

Combine $8$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.9.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.9.2.3.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.19.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{- 16 + 24}{3}$

Etapa 4.9.2.3.19.2

Some $- 16$ e $24$ .

$\frac{8}{3}$

Etapa 5